Para encontrar o quociente de uma divisão de polinômios, deve-se dividir o polinômio do dividendo pelo polinômio do divisor. A melhor forma de explicar é com um exemplo:

Dividir (3x³ + 2x² – 5x + 1) por (x² + x – 2).

Para começar, deve-se identificar o termo de maior grau no dividendo e no divisor. No caso desse exemplo, o termo de maior grau no dividendo é 3x³ e no divisor é x². Então, deve-se dividir 3x³ por x², o que resulta em 3x. Esse é o primeiro termo do quociente.

Agora, deve-se multiplicar o divisor pelo termo encontrado no quociente (3x). Ou seja, (3x)(x² + x – 2), que resulta em 3x³ + 3x² – 6x.

Em seguida, deve-se subtrair o resultado obtido no passo anterior do dividendo: (3x³ + 2x² – 5x + 1) – (3x³ + 3x² – 6x) = -x² – x + 1.

Agora, deve-se repetir o processo com o resultado obtido (-x² – x + 1) como novo dividendo. O termo de maior grau no novo dividendo é -x², e o divisor é x². Então, -x² ÷ x² resulta em -1. Esse é o segundo termo do quociente.

Multiplicando o divisor pelo segundo termo do quociente (-1), tem-se (-1)(x² + x – 2) = -x² – x + 2.

Subtraindo o resultado obtido no passo anterior do dividendo (-x² – x + 1 – (-x² – x + 2) = -1), tem-se um resto igual a -1.

Portanto, o quociente da divisão de (3x³ + 2x² – 5x + 1) por (x² + x – 2) é 3x – 1, e o resto é -1.